PERTIDAKSAMAAN
A.
Interval
Interval
atau selang adalah himpunan bagian dari bilangan real yang berbentuk {x/a <
x < b, x 
R}, simbol <
dapat berupa >, <, >. Misalnya a dan b adalah bilangan
real sehingga a < b, interval tersebut berhingga dengan a disebut batas
bawah dan b disebut batas atas.
R}, simbol <
dapat berupa >, <, >. Misalnya a dan b adalah bilangan
real sehingga a < b, interval tersebut berhingga dengan a disebut batas
bawah dan b disebut batas atas.
Notasi
|
Jenis Interval
|
Pertidaksamaan
|
Grafik
|
[a, b]
(a, b)
[a, b)
(a, b]
|
Tertutup
Terbuka
Setengah
terbuka
Setengah
tertutup
|
a < x < b
a < x < b
a < x < b
a < x < b
|
    |
Tanda “ “ berarti masuk dalam interval
Tanda “ “ berarti tidak masuk dalam interval
`Contoh:
Buatlah
grafik untuk interval {x/-1 < x < 3, x R}
R}
Jawab:
Misalkan
a dan b adalah bilangan real, interval-interval pada garis bilangan real
berikut disebut interval tak berhingga.
Notasi
|
Jenis Interval
|
Pertidaksamaan
|
Grafik
|
[a, ~]
(a, ~)
(-~, b)
(-~, b)
|
Setengah
terbuka
Terbuka
Setengah
terbuka
Terbuka
|
x > a
x > a
x < b
x < b
|
    |
Contoh:
S
= {x/-1 < x < 4, x R}
R}
T
= {x/1 < x < 5, x R}
R}
Tentukan S 
T dan S 
T
T dan S T
Jawab:
B.
Sifat-sifat Pertidaksamaan
Sifat-sifat
pertidaksamaan
1.
Jika ditambah
atau dikurangi dengan bilangan yang sama, maka pertidaksamaan tetap.
2.
Jika
dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama maka tanda
petidaksamaan tetap.
3.
Jika dikalikan
atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka tanda petidaksamaan berubah
(berlawanan).
Contoh:
1.
x – 2 < 5 (kedua ruas ditambah dua)
x – 2 + 2 < 5 +
2
x < 7
2.
3x > 9 (kedua ruas
dikalikan 
)
) x 3x > x 9
X > 3
3.
– 2x < 4 (kedua ruas dikalikan dengan -1)
– 2x x -1
> 4 x -1
2x > -4
x > -2
C.
Pertidaksamaan Kaudrat
1.
Pertidaksamaan
linear
Pertidaksamaan
linear dengan satu variabel yaitu x. Pertidaksamaan linear dapat diselesaikan dengan
subtitusi atau dengan garis bilangan.
Contoh:
a.
Tentukan
himpunan penyelesaian dari 2x – 5 < 3, x A!
A!
Jawab:
2x – 5 < 3
2x – 5 + 5 < 3 +
5
2x < 8
x < 4
himpunan
penyelesaiannya adalah {1, 2, 3}
b.
Selesaikan
pertidaksamaan 3x – 2 > 2 – x, x R!
R!
Jawab:
3x – 2 > 2 – x (kedua ruas ditambah X)
3x – 2 + x > 2 – x + x
4x – 2 + 2 > 2 +
2
4x > 4
x >
1
garis bilangan
Himpunan
penyelesaiannya adalah {x/x > 1, x R}
R}
2.
Pertidaksamaan
kuadrat
Bentuk umum
pertidaksamaan kuadrat dalam x
a.
ax2
+ bx + c < 0 c. ax2 + bx + c < 0
b.
ax2
+ bx + c > 0 d. ax2 + bx + c > 0
dimana
a, b, c R dan a
0
R dan a0
Menyelesaikan
pertidaksamaan kuadrat, ada dua cara, yaitu:
a. dengan sketsa grafik
b. dengan garis bilangan
Langkah-lagkah
a. Tentukan batas-batas atau pembuatan nol fungsi
b. Buatlah garis bilangan atau grafik fungsi kuadrat untuk menentukan
letak niali positif atau negatif
Contoh:
1) Selesaikan pertidaksamaan berikut
a.
2x2
+ 5x – 3 > 0
b.
-x2
+ 3x + 4 < 0
dengan garis
bilangan
Jawab:
a.
2x2
+ 5x – 3 > 0
2x2 + 5x
– 3 = 0
(2x – 1)(x + 3) = 0
X = ½ atau x = - 3
garis bilangan:
|
yang diminta soal
daerah positif (>) jadi
Hp = {x/x <
-3 atau x > ½}
b.
-x2
+ 3x + 4 < 0
-x2 + 3x
+ 4 = 0
x2 + 3x
+ 4 = 0
(x + 1) (x – 4) = 0
x = -1 atau x = 4
Hp
= {x/x < -1 atau x > 4}
2) Selesaikan pertidaksamaan x2 + 3 > 0
dengan grafik!
Jawab:
x2 + 3
> 0
·
Pembuat nol
fungsi
x2 + 3 =
0
x(x + 3) = 0
x = 0 atau x = 3
·
Nilai a = 1
> 0, D = b2 – 4ac = 32 – 4 (1)(0) = 9 > 0, maka grafik membuka ke atas
dan memotong sumbu x di dua titik (0,0) dan (-3, 0)
·
Grafik
Grafik
|
Jadi, nilai x adalah x < -3
atau x > 0
3.
Penerapan
pertidaksamaan kuadrat
Contoh:
Percepatan
gravitasi di suatu planet adalah a = 32 m/s2. Sebuah batu
dilontarkan dari permukaan planet dengan kecepatan awal 160 m/s. Diketahui
persamaan ketinggian benda yang bergerak vertikal yaitu h = - ½ at2 + v0t + h0.
Tentukan selang waktunya agar batu tersebut berada pada ketinggian lebih dari
384 m!
Jawab:
Tinggi
benda bergerak vertikal dinyatakan dengan persamaan h = - ½ at2 + v0t
+ h0
Tinggi
benda lebih dari 384 m, maka h > 384
Diketahui:
v0 =
160 m/s
h0 =
0
a = 32 m/s2
maka:
h
> 384
-
½ at2 + v0t + h0 > 384
-
½ (-32)t2 + 160 t + 0 > 384
-16t2
+ 160 t – 384 > 0
16
t2 – 160 t + 384 < 0
t2
– 10 t + 24 < 0
(t
– 4) (t – 6) < 0
Jadi,
selang dibutukna agar benda tersebut berada pada ketinggian lebig dari 384 m
adalah 4 < t < 6.
